Нормальный делитель группы. Смежные классы. Нормальные делители. Смотреть что такое "Нормальный делитель" в других словарях

Смежные классы. Разложение группы по подгруппе

Пусть – группа, – ее подгруппа, – произвольный элемент группы . Составим множество . Это непустое множество, называется левым смежным классом группы по подгруппе , определяемым элементом . Множество называется правым смежным классом группы по подгруппе , определяемым элементом . В общем случае .

Задача 61. В найти правый и левый смежные классы, определяе-мые элементом , если подгруппа .

Решение.

Составим классы

Заметим, .

Пусть – группа и – ее подгруппа.

Если , то говорят, что группа по подгруппе разложена на один смежный класс.

Если , то в существует элемент и тогда составим класс .

Если , то говорят, что группа по подгруппе разложена на два левых смежных класса .

Если , то имеем разложение группы на три смежных класса по подгруппе и т. д.

Процесс разложения группы по подгруппе на левые смежные классы может быть конечным, может быть бесконечным.

Аналогично можно получить разложение группы по подгруппе на правые смежные классы: .

Правое разложение не обязано совпадать с левым разложением.

В результате мы получаем два множества классов:

И – левое и правое фактор-множества множества по подмножеству . Длина этих множеств называется индексом подгруппы в группе .

Задача 62. Найти фактор-множество множества по подгруппе относительно операции сложения.

Решение. Операция сложения в коммутативная, поэтому левое и правое разложения по будут одинаковые. Разложим на на левые смежные классы.

Например, . Строим . . Имеем разложение по на два смежных класса. Фактор-множество: .

Задача 63. В мультипликативной группе

Возьмем подгруппу . Найти фактор-множество множества по .

Решение. При левостороннем разложении по имеем:

Т. е. левосторонний фактор-множество .

При правостороннем разложении по имеем:

Т. е. правостороннее фак-тор-множество , причем , .

Индекс подгруппы в равен 3.

Задача 64. Найти разложение аддитивной группы по подгруппе целых чисел, кратных 3.

Решение. .

Например, . Составим . Следовательно, класс состоит из всех целых чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 1. , напри-мер, , . Составим . Следовательно, класс состоит из всех целых чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 2. Итак, в находятся все целые числа, которые при делении на 3 дают в остатке 0, в классе – все целые числа, которые делятся на 3 дают в остатке 1, в классе – все числа с остатком 2. Но при делении на 3 возможны только остатки 0, 1, 2. Значит, все целые числа распределились по классам , т. е. разложение на смежные классы по имеет вид: . Так как сложение в коммутативное, то левостороннее разложение совпадает с правосторонним. Индекс подгруппы в равен 3.

Нормальный делитель группы. Фактор-группа

Если в группе относительно подгруппы при любом элементе , т. е. если любой элемент группы перестановочен с подгруппой , то подгруппа называется нормальным делителем группы .

Если операция в группе коммутативна, то любая подгруппа в группе является нормальным делителем. Если при левостороннем и при правостороннем разложении группы по подгруппе смежные классы, на которые распадается группа , получаются одинаковыми, то – нормальный делитель группы . Верно и обратное: если – нормальный делитель в группе , то при левостороннем и при правостороннем разложении группы по подгруппе смежные классы, на которые распадается группа , получаются одинаковыми.

Является нормальным делителем группы тогда и только тогда, когда при любом и любом элемент .

Задача 65. Если индекс подгруппы группы равен 2, то – нормальный делитель группы .

Решение. Если подгруппа имеет индекс 2 в группе , то , где и , т. е. . Следовательно, классы смежности левостороннего разложения совпадают с соответствующими классами правостороннего разложения, т. е. – нормальный делитель группы .

Задача 66. Будет ли группа в задаче 63 нормальным делителем в группе ?

Решение. Левостороннее разложение группы по подгруппе состоит из классов , и . Правостороннее разложение состоит из классов , , , но , , т. е. подгруппа не является нормальным делителем группы .

Задача 67. Найти фактор-группу группы по подгруппе всех чисел, кратных 3.

Решение. Так как сложение в коммутативно, то – нормальный делитель. Найдем разложение по : . Фактор-множество состоит из классов . Зададим на операцию сложения:

Заполнение таблицы Кэли осуществляется по правилу:

Например, . Это множество состоит из всех целых чисел , где , т. е. , . Тогда . Итак, мы получили фактор-группу , операция сложения в которой задана вышеука-занной таблицей Кэли.

Задача 68. Найти фактор-группу группы по подгруппе .

Решение. – нормальный делитель, т. к. сложение в коммутативно. Найдем разложение по : . Действительно, изобразим на числовой оси, а элементы отметим на ней точками:

Построим , где . Если , то , если , то элементы отметим звездочками. Тогда состоит из элементов, отмеченных точками и звездочками. В это множество не попадает элемент, например, . Тогда строим множество , элементы которого обозначим штрихом. Тогда состоит из элементов, обозначенных точками, звездочками и штрихами, но не совпадает с . Очевидно, чтобы совпало с , необходимо, чтобы .

Мы построили фактор-множество . Согласно процедуры факторизации, операция сложения определяется следующим образом: , где , .

Теорема Лагранжа утверждает, что если , a
, то

т.е. порядок
любой подгруппы H группы G делит N – порядок группы G.

Естественно, возникает вопрос об обращении теореме: если m является делителем
, то существует ли в группе G подгруппа H порядка m?

Другими словами: существует ли для каждого делителя m порядка группы N подгруппы H группы G порядка m?

В общем случае ответ отрицательный, однако в некоторых частных случаях такое обращение теоремы Лагранжа справедливо.

Теорема. (обращение теоремы Лагранжа )

1. Всякая подгруппа циклической группы есть снова циклическая группа.

2. Подгруппы бесконечной циклической группы

.

3. Подгруппы циклической группы порядка числа.

Доказательство.

Докажем 1 . Пусть – произвольная циклическая группа порядка
. Для определенности будем предполагать, что– аддитивная группа.

В этом случае общий элемент группы имеет вид

Пусть
– произвольная неединичная подгруппа группы, т.е.
.

Так как
, то элементами подгруппы
являются элементы вида
, но если.

Среди всех элементов вида
, выберем элемент

, где
– наименьшее положительное число.

Тогда любое
можно представить в виде:

Из того, что

но m – наименьшее число, удовлетворяющее условию

mgH  r = 0  H =,

т.е. Н – циклическая группа с образующим элементом mg.

Докажем 2 . Подгруппы бесконечной циклической группы
исчерпываются бесконечными группами
.

Действительно, так как
– циклическая группа с образующим элементом 1 или
, т.е.

то, в соответствии с пунктом 1 данной теоремы, любая подгруппа H циклической группы
определяется натуральным числом
и имеет вид

причем все эти подгруппы бесконечны.

Докажем 3 . Подгруппы циклической группы порядка находятся во взаимно однозначном соответствии с положительными делителямичисла.

Пусть, как и ранее,
– аддитивная циклическая группа порядка, т.е.

Если , причем, если элемент

Нам надо доказать, что
делит.

Действительно, представим

Тогда из того, что

,

а минимальность
влечет
, следовательно
.

Таким образом, из того, что
, следует, что подгруппа
имеет порядок, т.е.

.

Когда
пробегает по всем положительным делителям числа, то же самое делает и, и мы получаем ровно по одной подгруппе порядка, делящего.

Следствие. В циклической группе
порядкаподгруппа
порядка
совпадает с множеством элементов
, таких, что
.

Доказательство. Элементы циклической группе
порядкаимеют вид

Если
, тои
.

Обратно, пусть
и
.

Из условия
следует, что
, откуда
и.

1. Нормальные делители

Пусть G – произвольная группа, а H – подгруппа группы G, тогда, если то мы получаем два левых смежных класса
и
.

Мы хотим выяснить условия, при которых произведение элементов, взятых из смежных классов
и
, не зависит от выбора представителей классов и всегда принадлежит одному и тому же смежному классу, что и произведение элементов
, а именно классу
.

Элемент принадлежит смежному классу
, а элемент– смежному классу
.

Произвольные элементы, принадлежащие, соответственно, смежным классам
и
можно представить в виде:

Тогда их произведение

должно принадлежать классу

.

Это означает, что в подгруппе H,

Умножая почленно полученное равенство слева на , имеем:

(9)

где

Соотношение (9) позволяет сделать следующий вывод.

Так как элементы
выбраны произвольно, то для любого элемента
и любого элемента
существует элемент

,

удовлетворяющий соотношению (9).

Кроме того, элемент
а элемент
. В силу этого каждый левый смежный класс группы G по H содержится в некотором правом смежном классе группы G по той же подгруппе H:

Аналогично можно показать и обратное включение

а это будет означать, что

Определение 1. Подгруппа H группы G называется нормальным делителем или инвариантной подгруппой , если для любых двух смежных классов g 1 H и g 2 H по подгруппе H, произведение
произвольных элементов
из этих классов, принадлежит одному и тому же смежному классу
(рис. 2).

Рис. 2 – Подгруппа H – нормальный делитель группы G.

Формально: подгруппа H – нормальный делитель группы , если:

В коммутативных группах всякая подгруппа является нормальным делителем (в силу коммутативности операции сложения).

Для практического использования понятия нормального делителя рассмотрим еще несколько более «конструктивных в обращении» определений.

Определение 2. Подгруппа H группы G является нормальным делителем группы G в том и только том случае, если каждый левый смежный класс
совпадает с правым смежным классом
группы G по H и наоборот.

Формально: подгруппа H – нормальный делитель группы G, если:

Условие (12), очевидно, означает, что:

Примеры.

1. В любой группе G сама группа
и единичная подгруппа
являются ее нормальными делителями: левый и правый смежные классы группы G по подгруппе
состоит из одного смежного класса
, а левый (правый) смежные классы по единичной подгруппе H состоят из всех элементов группы G.

2. В каждой абелевой группе G каждая ее подгруппа H является нормальным делителем.

3. Мультипликативная группа положительных вещественных чисел
является нормальным делителем мультипликативной группы всех отличных от нуля вещественных чисел,

4. Мультипликативная группа отличных от нуля рациональных чисел
является нормальным делителем мультипликативной группы отличных от нуля вещественных чисел

5. В мультипликативной группе
невырожденных матриц
-го порядка с вещественными коэффициентами подгруппа
матриц с определителем равным единице:

является нормальным делителем этой группы.

Действительно, единичная матрица
, если

и

– соответственно, левый и правый смежные классы группы
-невырожденных матриц
-го порядка с вещественными коэффициентами по подгруппе
- матриц с определителем равным единице.

,

Т.е.
.

С другой стороны, если

,

поскольку
поэтому

Следовательно, сгруппировав в один смежный класс (левый или правый) все матрицы с равными детерминантами, получим разложение группы
по подгруппе
. Этот пример показывает, что и в некоммутативных группах могут быть подгруппы – нормальные делители, для которых левый смежный класс

совпадает с правым смежным классом

Введение 2
1. Определение и примеры групп 4
2. Подгруппы 8
3. Циклические группы. 13
4. Нормальные делители, фактор-группы 17
5. Идеал подгруппы в группе. Теорема Лагранжа и следствия из неё. 22
6. Использование нормальных делителей групп при решении задач 26
Заключение 29
Список литературы 30

Введение

Высшая алгебра представляет собой далеко идущее, но вполне естественное обобщение основного содержания школьного курса элементарной алгебры. Линейная алгебра, являющаяся большой наукой, посвященной в основном теории матриц и связанной с нею теории линейных преобразований векторных пространств, включает в себя также теорию форм, теорию инвариантов и тензорную алгебру, играющую важную роль в дифференциальной геометрии. Теория векторных пространств получает дальнейшее развитие вне алгебры, в функциональном анализе (бесконечномерные пространства). По разнообразию и значительности приложений как в математике, так и в механике, физике и технических науках линейная алгебра остается пока первой среди многочисленных ветвей алгебры.
Теория полей оказалась естественной областью для дальнейшего развития теории уравнений, а ее основные ветви - теория полей алгебраических чисел и теория полей алгебраических функций - связали ее, соответственно, с теорией чисел и теорией функций комплексного переменного. Курс высшей алгебры включает в себя элементарное введение в теорию полей, а некоторые разделы курса - многочлены от нескольких неизвестных, нормальная форма матрицы - излагаются сразу для случая произвольного основного поля.
Более широким, чем понятие поля, является понятие кольца. В отличие от случая поля, здесь уже не требуется выполнимости деления и, кроме того, умножение может быть некоммутативным и даже неассоциативным. Простейшими примерами колец служат совокупность всех целых чисел (включая и отрицательные), система многочленов от одного неизвестного и система действительных функций действительного переменного. Теория колец включает в себя такие старые ветви алгебры, как теория гиперкомплексных систем и теория идеалов, она связана с рядом математических наук/в частности с функциональным анализом, и уже нашла некоторые выходы в физику. Курс высшей алгебры, по существу, содержит лишь определение понятия кольца.
Еще большую область применений имеет теория групп. Группой называется алгебраическая система с одной основной операцией, причем эта операция должна быть ассоциативной, хотя необязательно коммутативной, и должна обладать обратной операцией - делением, если основная операция названа умножением. Такова, например, совокупность целых чисел, рассматриваемая относительно операции сложения, а также совокупность положительных действительных чисел, рассматриваемая с операцией умножения. Группы играли большую роль уже в теории Галуа, в вопросе о разрешимости уравнений в радикалах, сейчас же они являются важным орудием в теории полей, во многих разделах геометрии, в топологии, а также и вне математики - в кристаллографии, в теоретической физике. Вообще, по широте области приложений теория групп занимает среди всех ветвей алгебры следующее после линейной алгебры место.
Предметом данной работы являются нормальные делители групп.
Задачи:
1. Дать определение группе и подгруппе, рассмотреть примеры групп.
2. Рассмотреть циклические группы.
3. Рассмотреть понятие нормальных делителей
4. Привести теорему Лагранжа и следствия из неё.
5. Рассмотреть использование нормальных делителей групп при решении задач.

Список использованных источников

1. Куликов Л.Я. и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов. – : Высш. школа, 1979. – 559 с., ил.
2. Кострикин А.И. Введение в алгебру: Учебник для вузов. – М.: Физматлит, 2004. – 272 с.
3. Фаддеев Д.К. Сборник задач по высшей алгебре. – М.: Наука, 1977. – 288 с.
4. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1968.
5. Окунев Л.Я. Сборник задач по высшей алгебре – М.: Просвещение, 1964.

Общий объем: 30 стр.

Год: 2013

Если H 1 и H 2 – подмножества группы G , то произведением H 3 подмножеств H 1 и H 2 называется H 3 = H 1 ×H 2 º {h 3 ½h 3 = h 1 ×h 2 ; h 1 ÎH 1 ; h 2 ÎH 2 }.

Отметим, что если H 1 и H 2 – подгруппы группы G , то H 1 ×H 2 , вообще говоря, не подгруппа.

◀ В самом деле, если , то

Если бы можно было, то …. Но коммутативный закон, вообще говоря, не выполнен

Если H подгруппа G и a ÎG , то aH и Ha , рассматриваемые как произведения множества Н и одноэлементного множества {a }, называются левым и правым смежными классами подгруппы Н в G . Изменение а влечет за собой, вообще говоря, изменение смежных классов.

§7. Свойства смежных классов (сформулированы для левых,

но справедливы и для правых)

1° . a ÎH Þ aH º H . Доказать самостоятельно .

2° . a -1 b ÎH Þ aH = bH . ◀ a - 1 bH º H (из 1° ) и тогда bH = (aa - 1)bH = a (a - 1 bH ) = aH

3° . Два смежных класса одной подгруппы H либо совпадают, либо не имеют общих элементов.

◀ Пусть аН и bH имеют общий элемент, т.е. для h 1 , h 2 ÎH , ah 1 = bh 2 Þ a -1 b = ÎH и т.к. (из 2° )

4° . a ÎaH . Доказать самостоятельно .

Пусть Н такая подгруппа G для которой все левые смежные классы являются и правыми смежными классами. В этом случае, аН = На , "a ÎG . Подгруппа Н для которой все левые смежные классы являются одновременно и правыми смежными классами называется нормальным делителем группы G .

Т° . Если Н – нормальный делитель группы G, то произведение смежных классов –