Презентация комплексные числа 1 курс техникум. Презентация на тему "история комплексных чисел". В формуле для решения кубических уравнений вида

1 слайд

2 слайд

N C Z C Q C R C C N- ”natural” R- “real” C - “complex” Z – исключительная роль нуля “zero” Q – “quotient” отношение (т.к. рациональные числа – m/n) C R Q Z N

3 слайд

Минимальные условия комплексного числа 1) Существует число, квадрат которого = -1. 2) Множество комплексных чисел содержит все действительные числа. 3) Операции сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел удовлетворяет обычным законом арифметических действий.

4 слайд

Элемент, квадрат которого равен -1 называется мнимой единицей. Обозначается i (переводится «мнимый», «воображаемый») "Комплексными числами и функциями комплексного переменного математики пользовались в своих исследованиях уже в XVIII в. Особенно велики заслуги крупнейшего математика XVIII в. Леонарда Эйлера (1707-1783), который по праву считается одним из творцов теории функций комплексного переменного. В замечательных работах Эйлера детально изучены элементарные функции комплексного переменного. После Эйлера открытые им результаты и методы развивались, совершенствовались и систематизировались, и в первой половине XIX в. теория функций комплексного переменного оформилась как важнейшая отрасль математического анализа. "Первое упоминание о «мнимых» числах как о корнях квадратных и» отрицательных чисел относится еще к XVI в. (Дж. К а р д а н о, 1545). До середины XVIII в. комплексные числа появляются лишь эпизодически в трудах отдельных математиков (И. Ньютон, Н. Бернулли, А. Клеро). Первое изложение теории комплексных чисел на русском языке принадлежит Л. Эйлеру («Алгебра», Петербург, 1763, позднее книга была переведена на иностранные языки и многократно переиздавалась): символ «i» также введен Л. Эйлером. Геометрическая интерпретация комплексных чисел относится к концу XVIII в. (датчанин Каспар Вессель, 1799 г.)."

5 слайд

Условия про операции комплексных чисел позволяют умножать комплексные числа на мнимую единицу (i). Такое произведение называют чисто мнимыми числами. Например: i, 2i, -0,3i – чисто мнимые числа. 3i +13i=(3+13)i = 16i 3i·13i = (3·13) (i·i)=39i2=-39 ПРАВИЛА АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ 10 ai+bi=(a+b)i 20 a(bi)=(ab)i 30 (ai)(bi)=abi2= -ab 40 0i =0

6 слайд

Сумма a+bi (a и b действительные числа) а = 0, то a+bi =0+bi=bi (мнимое) b = 0, то a+bi =а+0=а (действительное) а не равно нулю, то a+bi ни действительное, не мнимое. Оно более сложное составное число. КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ НАЗЫВАЮТ СУММУ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА И ЧИСТО МНИМОГО ЧИСЛА Z=a + bi

1.История развития числа.

Докладчик: А вы знаете, что нас с вами в древние времена скорей всего считали колдунами? В древние времена человек, который умел считать, казался колдуном. Не все грамотные люди владели подобным «колдовством». Считать умели, в основном, писцы, а еще, конечно, купцы.

Появляются купцы.
Купцы. Сложение, самое простое арифметическое действие, освоить при определенном воображении можно. Надо было только представить одинаковые палочки, камешки, ракушки.

Докладчик: Приблизительно так и нас обучали счету в первом классе. В пятом классе УЗНАЛИ название этих чисел. Как они называются и обозначаются? (Натуральные « N » - natural , Слайд №1) Какие операции допустимы на множестве натуральных чисел? (сложение, умножение)
А вот с вычитанием уже начинались проблемы. Не всегда получалось вычесть из одного числа другое. Иногда отнимаешь, отнимаешь, глядь – ничего уже не осталось. Нечего больше отнимать! Так что вычитание считалось действием мудреным и не всегда его произвести удавалось.
Но тут пришли на помощь купцы.

«Две черные палочки – это, предположим, две овцы, которые ты должен отдать, но пока еще не отдал. Это долг!»

Докладчик: В общем, человечеству же на толкование отрицательных чисел, а вместе с этим на определение понятия целых чисел Z -« zero » понадобилось тысячу с лишним лет. Зато стали допустимы операции…( сложение, вычитание и умножение ).

Вообще, проблемы, подобные вышеописанным с отрицательными числами, возникали со всеми «обратными» арифметическими действиями. Два целых числа можно было перемножить, и в результате получалось целое число. А вот результат от деления двух целых чисел целым числом оказывался не всегда. Это тоже приводило к недоумениям.

Купцы: сцена деления шоколада. Вот смотри, мы сладость какую заработали. Давай делить!!!

А как? она одна, а нас двое, а еще и гости… Придумал-дроби ее на части…

Докладчик: То есть, для того, чтобы результат деления существовал всегда, пришлось ввести, освоить и понять, так сказать, «физический смысл» дробных чисел. Так вошли в дело рациональные числа - Q -«quotient » - «отношение».

В системе рациональных чисел стали допустимы многие операции. Но, что не всегда получалось? (извлечение корней из неотрицательных чисел была допустима частично. Например «корень из 81» и «корень из 2».)

Эта необходимость привела к введению множества действительных чисел (R – real ), для которого и извлечение корней из неотрицательных чисел было допустимой алгебраической операцией. И все же оставался один недостаток – это…? (извлечение корня из отрицательных чисел.)

2. Новый материал.

В 18-м веке математики придумали специальные числа для того, чтобы получалось еще одно «обратное» действие, извлечение квадратного корня из отрицательных чисел. Это – так называемые «комплексные» числа (C -complex ). Представить их сложно, но привыкнуть к ним – возможно. Считается, что на множестве комплексных чисел допустимы все алгебраические операции. И польза от применения комплексных чисел большая. Существование этих «странных» чисел значительно облегчило расчет сложных электротехнических цепей переменного тока, а также позволило рассчитать профиль авиационного крыла. Познакомимся с ними поближе.

Перечислим минимальные условия, которым должны удовлетворять комплексные числа:

• С1: Существует комплексное число, квадрат которого равен -1

С2 Множество комплексных чисел содержит все действительные числа.

С3 Операции сложения, вычитания, умножения и деления удовлетворяют законам арифметических действий(сочетательному, переместительному, распределительному)

Число, квадрат которого равен -1, называется мнимой единицей и обозначается i – imaginary – мнимый, воображаемый.. Это обозначение предложил Леонард Эйлер в 18 веке. Таким образом:

i 2 =-1, i-мнимая единица

Определение 1:

Числа вида bi, где i – мнимая единица, называются чисто мнимыми.

Например 2i, -3i, 0,5i

Определение 2:

Комплексным числом называют сумму действительного числа и чисто мнимого числа.

Комплексное число записывают как z = a + bi .

Число a называется действительной частью числа z ,

число bi – мнимой частью числа z .

Их обозначают соответственно: a = Re z , b = Im z .

Арифметические действия:

Сравнение

a + bi = c + di означает, что a = c и b = d (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части)

Сложение

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Вычитание

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

Умножение

(a + bi) × (c + di) = ac + bci + adi + bdi 2 = (ac − bd) + (bc + ad)i

Деление

3. Практика.

Учебник Мордкович А.Г. Профильный уровень. 11 класс. Рассмотрим простейшие примеры работы на множестве комплексных чисел.

Рассмотреть пример № 1,2 – два способа. (стр.245).

Работа с учебником. №32.7, 32,10, 32,12

4.Тест (Приложение)

Д/З №32.5, 32,8, 32,11 а,б

1,85  -2  0,8 Мир чисел бесконечен.  Первые представления о числе возникли из счета предметов (1, 2, 3 и т. д.) – НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА.  В последствии возникли ДРОБИ как результат измерения длины, веса и т. д. (, и т. д.)  ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА, появились с развитием алгебры Целые числа (т. е. натуральные 1, 2, 3,и т. д.), отрицательные числа (-1,-2, -3 и т. д. и нуль), дроби называются РАЦИОНАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ. ,  Рациональными числами нельзя точно выразить длину диагонали квадрата, если длина стороны ровна единице измерения. Чтобы точно выразить отношения несоизмеримых отрезков надо ввести новое число:  ИРРАЦИОНАЛЬНОЕ (и т. д.) Рациональные и иррациональные – образуют множество: Действительных чисел. При рассмотрении действительных чисел отмечалось, что в множестве действительных чисел нельзя, например, найти число, квадрат которого равен. При рассмотрении квадратных уравнений с отрицательными дискриминантами так же отмечалось, что такие уравнения не имеют корней, которые были бы действительными числами. Что бы подобные задачи были разрешимы, вводят новые числа – Комплексные числа Комплексные числа 2=-1 3=- = 4 =1 b - Мнимые числа a + b – Комплексные числа a, b – Любые действительные числа Прошлое и настоящее комплексных чисел. Комплексные числа возникли в математике более 400 лет назад. Впервые столкнулись с квадратными корнями из отрицательных чисел. Что такое, какой смысл следует предавать этому выражению, никто не знал. Квадратный корень из любого отрицательного числа не имеет смысла во множестве действительных чисел. С этим сталкиваются при решении квадратных, кубических уравнений, уравнений четвертой степени. МАТЕМАТИКИ СЧИТАЛИ: ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР Квадратные корни из отрицательных чисел – ввиду, что они не больше, не меньше и не равны нулю – не могут быть причислены к возможным числам. Готфрид Вильим Лейбнец Готфрид Лейбнец называл комплексные числа «изящным и чудесным убежищем божественного духа», выродком мира идей, почти двойственным существом, находящимся между быть и не быть». Он даже завещал начертить на своей могиле знак как символ потустороннего мира. К. Гаусс в начале ХĮХ века предложил назвать их «комплексными числами». К. Ф. гаусс Формы комплексных чисел: Z=a+bi – алгебраическая форма Z=r() – тригонометрическая Z=rE - показательная Комплексные числа применяются:  При составлении географических карт  В теории самолетостроения  Использованы в разнообразных исследованиях по теории чисел  В электромеханике  При изучении движения естественных и искусственных небесных тел и т. д. И в заключение презентации предлагая Разгадать кроссворд «Проверь себя» 8 1 3 2 7 5 6 4 1.Как называется число вида Z=a+bc? 2.В какой степени мнимой единицы получается один? 3.Как называются числа отличающиеся лишь знаком при мнимой части?4. Длина вектора. 5.Угол под которым находится вектор. 6. Какая форма комплексного числа: Z=r(cos +sin)? 7. Какая форма комплексного числа Z=re? 8. Вид Д=b -4ac, что такое Д?

1. Развитие понятия о числе Введение отрицательных чисел - это было сделано китайскими математиками за два века до н. э. Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения - положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя.

Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень, а если оно имеет три действительных корня, то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

3. Утверждение комплексных чисел в математике Кардано называл такие величины чисто отрицательными и даже софистически отрицательными, считал их бесполезными и старался их не употреблять. Но уже в 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней.

Название мнимые числа ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт. В 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века - Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу. Термин комплексные числа так же был введен Гауссом в 1831 году. В 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века - Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу. Термин комплексные числа так же был введен Гауссом в 1831 году.

Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д. Образующих единое целое. Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д. Образующих единое целое.

Которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число e в любую комплексную степень. которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число e в любую комплексную степень.

После создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании гиперкомплексных чисел - чисел с несколькими мнимыми единицами. Такую систему построил в 1843 году ирландский математик У. Гамильтон, который назвал их кватернионами После создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании гиперкомплексных чисел - чисел с несколькими мнимыми единицами. Такую систему построил в 1843 году ирландский математик У. Гамильтон, который назвал их кватернионами

Такая плоскость называется комплексной. Вещественные числа на ней занимают горизонтальную ось, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осями.

5. Тригонометрическая форма комплексного числа. Абсцисса а и ордината b комплексного числа a + bi выражаются через модуль r и аргумент q. Формулами Абсцисса а и ордината b комплексного числа a + bi выражаются через модуль r и аргумент q. Формулами a = r cos q, r=a/cos q a = r cos q, r=a/cos q b = r sin q, r=b/sin q b = r sin q, r=b/sin q r – длина вектора (a+bi), q – угол, который он образует с положительным направлением оси абсцисс

Комплексные числа, несмотря на их лживость и недействительность, имеют очень широкое применение. Они играют значительную роль не только в математике, а также в таких науках, как физика, химия. В настоящее время комплексные числа активно используются в электромеханике, компьютерной и космической индустрии

0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q где r > 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q Эт" title="Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде r(cos q + i sin q), r(cos q + i sin q), где r > 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q где r > 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q Эт" class="link_thumb"> 25 Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде r(cos q + i sin q), r(cos q + i sin q), где r > 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q где r > 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q Это выражение называется нормальной тригонометрической формой или, короче, тригонометрической формой комплексного числа. Это выражение называется нормальной тригонометрической формой или, короче, тригонометрической формой комплексного числа. 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q где r > 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q Эт"> 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q где r > 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q Это выражение называется нормальной тригонометрической формой или, короче, тригонометрической формой комплексного числа. Это выражение называется нормальной тригонометрической формой или, короче, тригонометрической формой комплексного числа."> 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q где r > 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q Эт" title="Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде r(cos q + i sin q), r(cos q + i sin q), где r > 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q где r > 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q Эт"> title="Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде r(cos q + i sin q), r(cos q + i sin q), где r > 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q где r > 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q Эт">

Локтионова Г.Н.

преподаватель математики

ГАПОУ «Автотранспортный колледж»

«Комплексные числа и действия

над ними»

• После изучения темы студенты должны: Знать: алгебраическую, геометрическую и тригонометрическую формы комплексного числа. Уметь: производить над комплексными числами операции сложения, умножения, вычитания, деления, возведения в степень, извлечение корня из комплексного числа; переводить комплексные числа из алгебраической формы в геометрическую и тригонометрическую; пользоваться геометрической интерпретацией комплексных чисел; в простейших случаях находить комплексные корни уравнений с действительными коэффициентами.

• Историческая справка
• Основные понятия
• Геометрическое изображение комплексных чисел
• Формы записи комплексных чисел
• Действия над комплексными числами

• Гусак, А.А. Высшая математика: учебник для студентов вузов: в 2т. Т.1. /А.А. Гусак. – 5-е изд. – Минск.: ТетраСистемс, 2004. – 544с.
• Канатников, А.Н. Линейная алгебра. / А.Н. Канатников, А.П. Крищенко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001 – 336 с.
• Курош, А.Г. Курс высшей алгебры. / А.Г. Курош. - М.: Наука,1971- 432 .
• Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть. – 2-е изд., испр. – М.: Айрис-пресс, 2003. - 288 с.
• Сикорская, Г.А. Курс лекций по алгебре и геометрии: учебное пособие для студентов транспортного факультета / Г.А. Сикорская. - Оренбург: ИПК ГОУ ОГУ, 2007. – 374 с.

п.1 Историческая справка

Понятие комплексного числа возникло из практики и теории решения алгебраических уравнений.

С комплексными числами впервые математики встретились при решении квадратных уравнений. Вплоть до ХVI века математики всего мира, не находя приемлемого толкования для комплексных корней, возникавших при решении квадратных уравнений, объявляли их ложными и не принимали во внимание.

Кардано, занимавшийся решением уравнений 3-й и 4-й степеней был одним из первых математиков, формально оперировавших комплексными числами, хотя их смысл во многом оставался для него неясным.

Смысл комплексных чисел разъяснил другой итальянский математик Р.Бомбелли. В своей книге «Алгебра» (1572 г.) он впервые изложил правила действий над комплексными числами в современной форме.

Вместе с тем, вплоть до XVIII века, комплексные числа считали «воображаемыми» и бесполезными. Интересно отметить, что даже такой выдающийся математик как Декарт, отождествлявший действительные числа с отрезками числовой прямой, считал, что для комплексных чисел не может быть никакого реального истолкования, и они навечно останутся воображаемыми, мнимыми. Аналогичных взглядов придерживались великие математики Ньютон и Лейбниц.

Лишь в XVIII веке многие задачи математического анализа, геометрии, механики требовали широкого применения операций над комплексными числами, что создало условия для разработки их геометрического истолкования.

В прикладных работах Даламбера и Эйлера в середине XVIII века авторы представляют произвольные мнимые величины в виде z=a+ib , что позволяет изображать такие величины точками координатной плоскости. Именно эта интерпретация была использована Гауссом в работе, посвященной исследованию решений алгебраического уравнения.

И только в начале XIX века, когда уже была выяснена роль комплексных чисел в различных областях математики, была разработана очень простая и естественная их геометрическая интерпретация, позволившая уяснить геометрический смысл операций над комплексными числами.

п. 2 Основные понятия

Комплексным числом z называется выражение вида z=a+ib , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица , которая определяется соотношением:

При этом число a называется действительной частью числа z

(a = Re z ), а b - мнимой частью (b = Im z ).

Если a = Re z =0 , то число z будет чисто мнимым , если b = Im z =0 , то число z будет действительным .

Числа z=a+ib и называются комплексно – сопряженными .

Два комплексных числа z 1 =a 1 +ib 1 и z 2 =a 2 +ib 2 называются равными , если соответственно равны их действительные и мнимые части:

a 1 =a 2 ; b 1 =b 2

Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части

Также комплексные числа можно записывать, например, в виде z=x+iy , z=u+iv .

п. 3 Геометрическое изображение комплексных чисел

Всякое комплексное число z=x+iy можно изобразить точкой M(x;y) плоскости xOy такой, что х = Re z , у = Im z . И, наоборот, каждую точку M(x;y) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z=x+iy (рисунок 1).

Рисунок 1

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью .

Ось абсцисс называется действительной осью , так как на ней лежат действительные числа z=x+0i=x .

Ось ординат называется мнимой осью , на ней лежат мнимые комплексные числа z=0+yi=yi .

Часто вместо точек на плоскости берут их радиус-векторы

т.е. векторы, началом которых служит точка O(0;0) , концом M(x;y) .

Длина вектора изображающего комплексное число z , называется модулем этого числа и обозначается | z| или r .

Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа, обозначается Arg z или φ .

Аргумент комплексного числа z=0 не определен.

Аргумент комплексного числа z ≠ 0 - величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2 π k (k=0,-1,1,-2,2,..) :

Arg z=arg z+2 π k,

где arg z - главное значение аргумента , заключенное в промежутке (- π , π ] .

п.4 Формы записи комплексных чисел

Запись числа в виде z=x+iy называют алгебраической формой комплексного числа.

Из рисунка 1 видно, что x=rcos φ , y=rsin φ , следовательно, комплексное z=x+iy число можно записать в виде:

Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Модуль r=|z| однозначно определяется по формуле

Аргумент φ определяется из формул

При переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить лишь главное значение аргумента комплексного числа, т.е. считать φ =arg z .

Так как то из формулы получаем, что

Для внутренних точек I , IV четвертей;

Для внутренних точек II четверти;

Для внутренних точек III четверти.

Пример 1. Представить комплексные числа и в тригонометрической форме.

Решение . Комплексное число z=x+iy в тригонометрической форме имеет вид z=r(cos φ +isin φ ) , где

1) z 1 = 1 +i (число z 1 принадлежит I четверти), x=1, y=1.

Таким образом,

2) (число z 2 принадлежит II четверти)

Так как то

Следовательно,

Ответ:

Рассмотрим показательную функцию w=e z , где z=x+iy - комплексное число.

Можно показать, что функция w может быть записана в виде:

Данное равенство называется уравнением Эйлера.

Для комплексных чисел будут справедливы следующие свойства:

где m – целое число.

Если в уравнении Эйлера показатель степени принять за чисто мнимое число (х=0 ), то получаем:

Для комплексно – сопряженного числа получаем:

Из этих двух уравнений получаем:

Этими формулами пользуются для нахождения значений степеней тригонометрических функций через функции кратных углов.

Если представить комплексное число в тригонометрической форме

z=r(cos φ +isin φ )

и воспользоваться формулой Эйлера e i φ =cos φ +isin φ , то комплексное число можно записать в виде

z=r e i φ

Полученное равенство называется показательной формой комплексного числа.

п. 5 Действия над комплексными числами

1) Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме

а) Сложение комплексных чисел

Суммой двух комплексных чисел z 1 =x 1 +y 1 i и z 2 =x 2 +y 2 i

z 1 +z 2 =(x 1 +x 2 )+i(y 1 +y 2 ).

Свойства операции сложения:

1. z 1 +z 2 = z 2 +z 1 ,

2. (z 1 +z 2 )+z 3 =z 1 +(z 2 +z 3 ) ,

3. z+0=z .

б) Вычитание комплексных чисел

Вычитание определяется как действие, обратное сложению.

Разностью двух комплексных чисел z 1 =x 1 +y 1 i и z 2 =x 2 +y 2 i называется такое комплексное число z , которое, будучи сложенным с z 2 , дает число z 1 и определяется равенством

z=z 1 – z 2 =(x 1 – x 2 )+i(y 1 – y 2 ).

в) Умножение комплексных чисел

Произведением комплексных чисел z 1 =x 1 +y 1 i и z 2 =x 2 +y 2 i , определяемое равенством

z=z 1 z 2 =(x 1 x 2 –y 1 y 2 )+i(x 1 y 2 –x 2 y 1 ).

Отсюда, в частности, следует важнейшее соотношение

i 2 = – 1.

Свойства операции умножения:

1. z 1 z 2 = z 2 z 1 ,

2. (z 1 z 2 )z 3 =z 1 (z 2 z 3 ) ,

3. z 1 ( z 2 +z 3 ) =z 1 z 2 +z 1 z 3 ,

4 . z ∙ 1 =z .

г) Деление комплексных чисел

Деление определяется как действие, обратное умножению.

Частным двух комплексных чисел z 1 и z 2 ≠ 0 называется комплексное число z , которое будучи умноженным на z 2 , дает число z 1 , т.е. если z 2 z = z 1 .

Если положить z 1 =x 1 +y 1 i , z 2 =x 2 +y 2 i ≠ 0, z=x+yi , то из равенства (x+yi)(x 2 +iy 2 )= x 1 +y 1 i, следует

Решая систему, найдем значения x и y :

Таким образом,

На практике вместо полученной формулы используют следующий прием: умножают числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю («избавляются от мнимости в знаменателе»).

Пример 2. Даны комплексные числа 10+8i , 1+i. Найдем их сумму, разность, произведение и частное.

Решение.

а) (10+8i)+(1+i)=(10+1)+(8+1)i=11+9i;

б) (10+8i)–(1+i) =(10–1)+(8–1)i= 9 + 7 i;

в) (10+8i)(1+i) = 10+10 i +8 i +8 i 2 =2+18i;

д) Возведение комплексного числа, заданного в алгебраической форме в n -ю степень

Выпишем целые степени мнимой единицы:

В общем виде полученный результат можно записать так:

Пример 3. Вычислить i 2 092 .

Решение.

• Представим показатель степени в виде n = 4k+l и воспользуемся свойством степени с рациональным показателем z 4k+1 =(z 4 ) k ∙ z l .

Имеем: 2092=4 ∙ 523 .

Таким образом, i 2 092 = i 4 ∙ 523 =(i 4 ) 523 , но так как i 4 = 1 , то окончательно получим i 2 092 = 1 .

Ответ: i 2 092 = 1 .

При возведении комплексного числа a+bi во вторую и третью степень пользуются формулой для квадрата и куба суммы двух чисел, а при возведении в степень n (n – натуральное число, n ≥ 4 ) – формулой бинома Ньютона:

Для нахождения коэффициентов в этой формуле удобно пользоваться треугольником Паскаля.

е) Извлечение квадратного корня из комплексного числа

Квадратным корнем из комплексного числа называется такое комплексное число, квадрат которого равен данному.

Обозначим квадратный корень из комплексного числа x+yi через u+vi , тогда по определению

Формулы для нахождения u и v имеют вид

Знаки u и v выбирают так, чтобы полученные u и v удовлетворяли равенству 2uv=y .

Пример 4. Извлечем квадратный корень из комплексного числа z=5+12i .

Решение.

Обозначим квадратный корень из числа z через u+vi , тогда (u+vi) 2 =5+12i .

Поскольку в данном случае x=5 , y=12 , то по формулам (1) получаем:

u 2 =9; u 1 =3; u 2 = – 3; v 2 =4; v 1 =2; v 2 = – 2.

Таким образом, найдено два значения квадратного корня: u 1 +v 1 i=3+2i , u 2 +v 2 i= –3 –2i , . (Знаки выбрали согласно равенству 2uv=y , т.е. поскольку y=120 , то u и v одного комплексного числа одинаковых знаков.)

Ответ:

2) Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме

Рассмотрим два комплексных числа z 1 и z 2 , заданных в тригонометрической форме

а) Произведение комплексных чисел

Выполняя умножение чисел z 1 и z 2 , получаем

б) Частное двух комплексных чисел

Пусть заданы комплексные числа z 1 и z 2 ≠ 0 .

Рассмотрим частное имеем

Пример 5 . Даны два комплексных числа

Решение.

1) Используя формулу. получаем

Следовательно,

2) Используя формулу. получаем

Следовательно,

Ответ:

в) Возведение комплексного числа, заданного в тригонометрической форме в n -ю степень

Из операции умножения комплексных чисел следует, что

В общем случае получим:

где n – целое положительное число.

Следовательно , при возведении комплексного числа в степень модуль возводится в ту же степень, а аргумент умножается на показатель степени .

Выражение (2) называется формулой Муавра .

Абрахам де Муавр (1667 – 1754) – английский математик французского происхождения.

Заслуги Муавра:

• открыл (1707) формулу Муавра для возведения в степень (и извлечения корней) комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме;
• первый стал использовать возведение в степень бесконечных рядов;
• большой вклад в теорию вероятностей: доказал частный случаи теоремы Лапласа, провёл вероятностное исследование азартных игр и ряда статистических данных по народонаселению.

Формулу Муавра можно использовать для нахождения тригонометрических функций двойного, тройного и т.д. углов.

Пример 6. Найти формулы sin 2  и cos 2  .

Решение.

Рассмотрим некоторое комплексное число

Тогда с одной стороны

По формуле Муавра:

Приравнивая, получим

Т.к. два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части, то

Получили известные формулы двойного угла.

г) Извлечение корня п

Корнем п -ой степени из комплексного числа z называется комплексное число w , удовлетворяющее равенству w n =z , т.е. если w n =z .

Если положить а то, по определению корня и формуле Муавра, получаем

Отсюда имеем

Поэтому равенство принимает вид

где (т.е. от 0 до n-1 ).

Таким образом, извлечение корня n -ой степени из комплексного числа z всегда возможно и дает n различных значений. Все значения корня n -ой степени расположены на окружности радиуса с центром в нуле и делят эту окружность на n равных частей.

Пример 7. Найти все значения

Решение.

Вначале представим число в тригонометрической форме.

В данном случае x=1 , , таким образом,

Следовательно,

Используя формулу

где k=0,1,2,…,(n-1), имеем:

Запишем все значения:

Ответ:

Вопросы для самоконтроля

1 . Сформулируйте определение комплексного числа.

2. Какое комплексное число называется чисто мнимым?

3. Какие два комплексных числа называются сопряженными?

4. Объясните, что значит сложить комплексные числа, заданные в алгебраической форме; умножить комплексное число на действительное.

5. Объясните принцип деления комплексных чисел, заданных в алгебраической форме.

6. Запишите в общем виде целые степени мнимой единицы.

7. Что означает возведение комплексного числа, заданного алгебраической формой в степень (n - натуральное число)?

8. Расскажите как изображаются комплексные числа на плоскости.

9 . Какая форма записи называется тригонометрической формой комплексных чисел?

10. Сформулируйте определение модуля и аргумента комплексного числа.

11. Сформулируйте правило умножения комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме.

12. Сформулируйте правило нахождения частного двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме.

13. Сформулируйте правило возведения в степени комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме.

14. Сформулируйте правило извлечения корня n -ой степени из комплексного числа, заданного в тригонометрической форме.

15. Расскажите о значении корня n -ой степени из единицы и о сфере его применения.